선형 시스템
선형 시스템
중등 교과과정에서의 배운 조금 복잡한 연립일차방정식 -> linear system(선형시스템)
\(3x + y + z = 4\)
\(x - 2y - z = 1\)
\(x + y + z = 2\)
선형 대수의 목표
어떤 연립일차방정식, 즉 linear system(선형 시스템)문제라도 정형적인 방법으로
표현하고 해결하는 방법을 배우는 것
$ Ax = b $
선형 시스템의 구성 요소
- Linear Equations(선형 방정식) : 선의 형태
- Unknown(미지수)
m X n 선형 시스템
3개의 linear equations, 3개의 unkowns로 구성된 연립일차방정식
3(식의 갯수) X 3(미지수의 갯수) linear system
선형 방정식, 비선형 방정식 구분 방법
선형 방정식 : unknown의 승수가 1로만 구성되어 있다.
그외 : 비선형 방정식
선형 시스템의 대수적 표현
\(Ax = b\)로 표현하기
- 선형 시스템의 unknowns를 모아 column vector(열벡터) x로 표현
- coefficients(계수)를 모아 A의 row vector(행벡터)로 표현
- constant(상수)를 모아 b에 표현
\(3x + y = 2\)
\(x - 2y = 3\) => \(A x = b\) => \(\left[\begin{array}{lcr} 3 & 1\\1 & -2\\2 & -4\end{array}\right] \left[\begin{array}{lcr} x \\ y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lcr} 2 \\ 3 \\ 6\end{array}\right]\)
\(2x - 4y = 6\)
m x n 선형 시스템의 Ax = b 표현 정리
- m은 선형 방정식의 갯수
- n은 unknown의 갯수
- A는 m x n 행렬
- x는 n-벡터
- b는 m-벡터
선형 시스템(Ax = b)의 해
- 해가 하나인 경우 : $ 3x = 6 $
- 해가 없는 경우 : $ 0x = 6 $ (평행인 경우)
- 해가 여러개인 경우 : $ 0x = 0 $ (겹치는 경우)
- A의 역수가 존재하지 않는 경우, A는 특이(singular)하다고 한다. (2, 3번의 경우)
- 해가 있으면 선형 시스템이 consistent하다고 한다. (1, 3번의 경우)
- 해가 없으면 선형 시스템이 inconsistent하다고 한다. (2번의 경우)